Главная – Журналы – Философия науки 2023 номер 1

Одним из основных требований, предъявляемых к математическим доказательствам, является требование строгости. Строгость гарантирует наличие логической связи между доказываемым положением и принимаемыми допущениями или аксиомами. Традиционно считается, что строгость математического доказательства обеспечивается обращением к формализации. Однако такое понимание не соответствует математической практике. Подавляющее количество доказательств (как в прошлом, так и в настоящее время) дается в неформальном виде и принимается сообществом математиков-экспертов без какой-либо формализации. В статье представлена предложенная С. Де Тоффоли альтернативная позиция относительно строгости математического доказательства, которая, как предполагается, соответствует практике. Статья разделена на четыре части. В первой части рассматривается традиционное понимание доказательства как обозримой и формализуемой конструкции, используемой для целей убеждения, обсуждаются структура доказательства и стандартное понимание строгости, обеспечиваемой формализацией. Во второй части обсуждается практика обращения к «манипулятивному воображению» в рамках топологии и демонстрируется особый статус этой способности в «заполнении» пробелов в неформальных доказательствах. Утверждается, что эта способность вырабатывается в ходе соответствующего обучения и предполагает только такие манипуляции, которые обоснованы со строго формальной точки зрения. В третьей части обсуждается альтернативное традиционному понятие доказательства как общеиспользуемой и формализуемой конструкции, компоненты («шаги») которой могут быть перечислены, а также вводится понятие будто-доказательства, которое представляет собой средство объяснения математической практики принятия неполных или содержащих ошибки доказательств. В четвертой части статьи формулируются заключительные моменты, касающиеся обязательств принятия релятивизма и антиреалистской онтологии при излагаемом объяснении понятий доказательства и строгости.