Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2025 номер 4

В этой статье мы рассматриваем нелинейные дробные дифференциальные уравнения с новой производной Капуто-Фабрицио порядка γ ∈]1, 2[. Мы преобразуем дробную задачу в эквивалентное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры второго рода, а затем определяем существование и единственность его решения при определенных заданных условиях с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке. Мы численно решаем предлагаемую дробную задачу с использованием метода Нистрема и приводим несколько подходящих примеров в поддержку нашего исследования.

Методы сопряженных градиентов представляют собой мощный класс алгоритмов оптимизации, известных своей эффективностью и универсальностью. В данном исследовании мы оптимизируем обобщенный симметричный алгоритм спуска Хестенса-Штифеля (GDSHS) путем усовершенствования параметра c, который является критическим фактором. Мы используем как аналитические, так и численные методы для оценки оптимального диапазона c для работы алгоритма. С использованием подробных численных экспериментов мы исследуем влияние различных значений c на сходимость и вычислительную эффективность алгоритма. Проводится сравнительный анализ версий GDSHS с различными значениями c и известных методов сопряженных градиентов, таких как методы Флетчера-Ривса (FR) и Полака-Рибьера-Поляка (PRP⁺). Наши выводы подчеркивают важность задания c=1, значительно повышающего сходимость и вычислительную производительность алгоритма GDSHS, благодаря чему он является конкурентоспособным выбором среди самых современных методов оптимизации.

В данной работе на примере уравнения Пуассона рассматриваются вопросы численного решения методом конечных элементов однородной краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения в двумерной многоугольной выпуклой области Ω с сингулярной правой частью в виде дельта-функции Дирака. Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения в дробном гильбертовом пространстве Соболева H^s(Ω), где 1/2 < s < 1. Предложен и изучен подход к дискретному анализу задачи методом конечных элементов. Приведены результаты численных экспериментов по решению методической задачи с помощью пакета FreeFem++, подтверждающие полученную оценку уклонения дискретного решения от точного.

Применение дробного исчисления для итерационного решения нелинейных уравнений - новая область исследований. Недавно было предложено несколько методов типа Ньютона, которые используют производные дробного порядка. Однако для сходимости этих методов необходимо существование по меньшей мере производной первого порядка. Мы предлагаем новый метод типа секущих, который не содержит производных, хотя его конструкция основана на идее конформной дробной производной порядка α ∈ (0,1]. Основная цель - проанализировать, как дробные производные влияют на увеличение области сходимости. Предлагаемая схема изучается с точки зрения характеристик ее сходимости и динамических свойств для различных значений α в этом диапазоне. Эффективность метода демонстрируется путем решения различных прикладных нелинейных задач, включая уравнение Бюргерса дробного порядка.

В данной статье мы предлагаем новый смешанный коволюмный метод Кранка-Николсона для параболических задач оптимального управления. Переменные состояния и сопряженного состояния аппроксимируются элементом Равьяра-Тома наименьшего порядка, а управляющая переменная аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, в то время как схема Кранка-Николсона используется для временной дискретизации. Мы выводим априорные оценки погрешности для управляющей переменной, состояния и сопряженных состояний.

Цель работы - получение эффективных алгоритмов для численного решения нежестких обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием экстраполяции Ричардсона для класса явных методов Рунге-Кутты второго порядка. Теоретические результаты показывают, что применение этого метода значительно влияет на точность и устойчивость рассматриваемых численных методов. Достигнутые улучшения предлагаемых алгоритмов подтверждаются результатами численных экспериментов.